以下是谷歌浏览器插件扩展权限申请失败的处理方法：
1. 检查权限声明：打开扩展程序的安装目录，找到`manifest.json`文件，确认“permissions”字段中声明的权限（如`tabs`、`downloads`）与实际功能需求匹配，避免多余或错误的权限声明。
2. 重新加载扩展程序：进入`chrome://extensions/`页面，关闭问题扩展的“启用”开关，等待5秒后重新开启，强制Chrome重新解析`manifest.json`文件。同时，删除扩展程序生成的本地存储数据（如`localStorage`、`IndexedDB`），避免残留的过期配置影响权限验证。
3. 查看浏览器版本和兼容性：确保你的Chrome浏览器版本与插件兼容。某些插件可能不支持最新的浏览器版本，或者在旧版本上存在已知的权限问题。尝试更新插件到最新版本，或者查看插件的官方文档以确认其支持的浏览器版本范围。
4. 检查网络请求配置：若涉及网络请求（如`fetch`），确保在`background.js`或`contentScript.js`中正确配置权限，并在代码中添加错误回调，捕获因权限不足导致的请求失败。
5. 重新安装插件：如果上述方法都无效，可以尝试卸载并重新安装插件。在重新安装时，注意检查是否有自定义的设置或选项，确保按照插件的要求进行操作。
6. 联系插件开发者：如果问题仍然存在，可能是插件本身的问题。你可以尝试联系插件的开发者，向他们反馈你的问题，并提供详细的错误信息和复现步骤。他们可能会提供特定的解决方案或修复补丁。